MACAM-MACAM HIMPUNAN BILANGAN
Ø BILANGAN ASLI
Bilangan
asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari
bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif
(integer positif).
Contoh : {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Ø BILANGAN CACAH
Bilangan
cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.
Contoh : {0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Ø BILANGAN NEGATIF
Bilangan
negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol.
Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis
bilangan.
Contoh : {-1,
-2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}
Ø BILANGAN BULAT
Bilangan
bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan
bilangan negatif.
Contoh : {-4,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Ø BILANGAN PRIMA
Bilangan
prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1
dan bilangan itu sendiri.
Contoh : {2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}
Ø BILANGAN KOMPOSIT
Bilangan
komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan
prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat,
atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut
bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Contoh : {4,
6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}
Ø BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan
kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real
danbilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah
bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut
juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real bdisebut bagian
imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan
kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Contoh : {3
+ 2i}
Ø BILANGAN IMAJINER
Bilangan
imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan
bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini
diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :
x2 +
1 = 0
atau
secara ekuivalen
x2 =
-1
atau
juga sering dituliskan sebagai
x =
√-1
Ø BILANGAN REAL
Bilangan
real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa
Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang
koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang
memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan
rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2,
dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Himpunan
semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata
“real”).
Ø BILANGAN IRRASIONAL
Bilangan
irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya
hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.
Contoh : π = 3,141592653358……..
√2 = 1,4142135623……..
e =
2,71828281284590…….
Ø BILANGAN RASIONAL
Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan
rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b,
dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan
bulat tetapi tidak sama dengan nol.
Contoh : {½,
⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}
Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan
bilangan rasional.
Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan
penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat
ditemukan dalam garis-garis bilangan.
Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk
bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli
2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.
Bilangan
Rasional diberi lambang Q
(berasal dari bahasa Inggris “quotient”).
Ø BILANGAN PECAHAN
Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/
ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Berikut Contoh Soal Himpunan Dan Diagram Venn
Contoh Soal 1
Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang,
dipeoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8
orang sarapan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi
ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!
Jawab:
Kita
gunakan diagram ven untuk menjawab soal tersebut. Jika kita gambarkan dengan
diagram ven maka gambarnya seperti gambar berikut ini.
Banyak
orang yang ada di dalam kelompok tersebut adalah 60 + 8 + 42 + 35 = 145 orang.
Jadi, banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada 145 orang.
Contoh
Soal 2
Dari
beberapa anak remaja diketahui 25 orang suka minum susu, 20 orang suka minum
kopi dan 12 orang suka susu dan kopi. Dari data di atas jawablah pertanyaan di
bawah ini.
a.
jumlah semua anak remaja
b.
jumlah remaja yang suka susu saja
c.
jumlah remaja yang suka kopi saja
d.
jumlah remaja yang suka kedua-duanya
Jawab:
Untuk
menjawab soal tersebut Anda harus membuat data tersebut menjadi bentuk diagram
ven. Jika digambarkan maka bentuk diagram vennya menjadi seperti gambar berikut
ini.
Dari
diagram venn di atas maka.
a.
jumlah semua anak remaja = 33 orang
b.
jumlah remaja yang suka susu saja = 13 orang
c.
jumlah remaja yang suka kopi saja = 8 orang
d.
jumlah remaja yang suka kedua-duanya = 12 orang
Contoh
Soal 3
Hasil
survey terhadap 35 orang penduduk di suatu desa, diperoleh hasil sebagai
berikut: 18 orang menyukai teh, 17 orang menyukai kopi, 14 orang menyukai susu,
8 orang menyukai minum teh dan kopi, 7 orang menyukai teh dan susu, 5 orang
menyukai kopi dan susu, 3 orang menyukai ketiga-tiganya. Buatlah diagram Venn
dari keterangan di atas dan tentukan banyaknya warga menyukai teh, menyukai
susu, menyukai kopi, dan tidak menyukai ketiga-tiganya.
Jawab:
Diagram
Venn dari keterangan di atas seperti gambar berikut ini.
Dari
diagram venn di atas maka banyaknya warga yang gemar minum teh saja ada 6
orang, gemar minum susu saja ada 5 orang, gemar minum kopi saja ada 7 orang dan
tidak gemar ketiga-tiganya ada 3 orang.
Berikut
Contoh Soal Himpunan Bilangan Cacah
Contoh Soal 1
Tentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan p + 5 ≥ 9 jika perubah pada himpunan
bilangan cacah.
Penyelesaian:
Untuk
menyelesaikan pertidaksamaan tersebut Anda harus mensubstitusi x dengan
sembarang bilangan cacah.
Jika
x = 0 maka:
<=>
p + 5 ≥ 9
<=> 0 + 5 ≥ 9
<=>
5 ≥ 9 (pernyataan salah)
Jika
x = 1 maka:
<=> p + 5 ≥ 9
<=> 1 + 5 ≥ 9
<=>
6 ≥ 9 (pernyataan salah)
Jika
x = 2 maka:
<=> p + 5 ≥ 9
<=> 2 + 5 ≥ 9
<=>
7 ≥ 9 (pernyataan salah)
Jika
x = 3 maka:
<=>
p + 5 ≥ 9
<=> 3 + 5 ≥ 9
<=>
8 ≥ 9 (pernyataan salah)
Jika
x = 4 maka:
<=>
p + 5 ≥ 9
<=> 4 + 5 ≥ 9
<=>
9 ≥ 9 (pernyataan benar)
Jika
x = 5 maka:
<=>
p + 5 ≥ 9
<=> 5 + 5 ≥ 9
<=>
10 ≥ 9 (pernyataan benar)
Jika
x = 6 maka:
<=>
p + 5 ≥ 9
<=> 6 + 5 ≥ 9
<=>
11 ≥ 9 (pernyataan benar)
Ternyata
untuk x = 4, 5, 6, . . . pertidaksamaan p + 5 ≥ 9 menjadi kalimat yang benar.
Jadi, himpunan penyelesaian dari p + 5 ≥ 9 adalah {4, 5, 6,..}.
Contoh Soal 2
Tentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3(2t – 1) ≤ 2t + 9 jika
peubah
pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian:
<=>
3(2t – 1) ≤ 2t + 9
<=>
6t – 3 ≤ 2t + 9
<=>
6t – 3 + 3 ≤ 2t + 9 + 3 (ditambah 3)
<=>
6t ≤ 2t + 12
<=>
6t – 2t ≤ 2t – 2t + 12 (dikurangi 2t)
<=>
4t ≤ 12
<=>
(¼)4t ≤ (¼)12 (dikali ¼)
<=>
t ≤ 3
Contoh Soal 3
Tentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2(x – 30) < 4(x – 2) jika
peubah
pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian:
<=>
2(x – 30) < 4(x – 2)
<=>
2x – 60 < 4x – 8
<=>
2x – 60 + 60 < 4x – 8 + 60 (ditambah 60)
<=>
2x < 4x + 52
<=>
2x – 4x < 4x – 4x + 52 (dikurangi 4x)
<=>
– 2x ≤ 52
<=>
(– ½) . 2x ≥ (– ½) . 52 (dikali – ½ dan tandanya berubah karena dikalikan
dengan bilangan negatif dari ≤ menjadi ≥)
<=>
x ≥ 26
Sources
:
