RELASI DAN FUNGSI

Relasi

Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi :   Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari Ake B adalah subhimpunan dari A×B.

                   

§  RELASI DAN FUNGSI PROPOSISI

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R= {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

§  RELASI A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut :                                        1.   Refleksif

                                                      2.   Irefleksif

                                                      3.   Simetrik

                                                      4.   Anti-simetrik

                                                      5.   Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen Aberhubungan dengan dirinya sendiri.

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan xdan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

§Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

§  Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota Aberhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

§  Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsia dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

§  Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan bberhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

RELASI KHUSUS

§  Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat :

1.    Refleksif

2.    Simetrik

3.    Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

§  Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat : 1.    Refleksif

                                                                         2.    Anti-simetri

                                                                         3.    Transitif

Fungsi

1.    Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan(dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagaikodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10

2.    NOTASI

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

3.    FUNGSI SEBAGAI RELASI

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

4.    DOMAIN DAN KODOMAIN

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain.

Jenis-Jenis Fungsi :

1.    Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ makaf(a₁) sama dengan f(a₂).

2.    Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satua dalam domain A sehingga berlakuf(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3.    Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain Bterdapat tepat satu a dalam domain Asehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalamB. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

 Contoh Soal dan Pembahasannya

1.        Diketahui fungsi ƒ :

dan fungsi ƒ ditentukan dengan rumus ƒ(x) = x² + 1. Jika ƒ(a) = 10, hitunglah nilai a yang mungkin.

a.      a = 3 atau a = -3

b.      a = -3 atau a = 3

c.       a = -3 atau a = -3

d.      a = 3 atau a = 3 

Jawaban :

Untuk x = a, maka ƒ(a) = (a)² + 1 = a² + 1. Karena diketahui ƒ(a) = 10, maka diperoleh hubungan :

a² + 1 = 10

a² – 9 = 0

(a + 3)(a – 3) = 0

a = -3 atau a = 3

jadi ƒ(a) = 10 untuk nilai-nilai a = -3 atau a = 3.

Jadi jawabannya b. a = -3 atau a = 3

2.       Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9) serta melalui titik (-1,0)

Jawaban : 

y = a(x - p)² + q

= a(x - 2)² – 9

melalui (-1,0) => y = a(x - 2)² – 9

0 = a(-1 - 2)² – 9

9 = 9a

a = 1

Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x - 2)² – 9

= (x² - 4x + 4) – 9

= x² - 4x – 5

3.       Misalkan R suatu relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh R ={(x,y)/ x,yEN, x+3y =12}. Tentukan:

a.   Tulis R dalam bentuk himpunan pasangan terurut.

b.   Carilah domain, range dan invers dari R

Jawab:

a.      R sebagai himpunan pasangan terurut

R = {(2,3),(6,2),(9,1)}

b.      Domain dari R = D = {3, 6, 9}

Range dari R =E ={1, 2, 3}

R-1 ={(b,a) / (a,b) ER} ={(3,3),(2,6),(1,9)}

Sources :

http://schoolacademy666.blogspot.com/2013/10/contoh-soal-relasi-fungsi-himpunan.html

http://informatika.unsyiah.ac.id/nazaruddin/wp-content/uploads/2012/05/Latihan-Relasi.pdf

http://matkdimasfun.blogspot.com/2011/12/relasi-dan-fungsi.html

HIMPUNAN BILANGAN DAN DIAGRAM VENN

MACAM-MACAM HIMPUNAN BILANGAN

Ø  BILANGAN ASLI

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).

Contoh :          {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Ø  BILANGAN CACAH

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.

Contoh :          {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Ø  BILANGAN NEGATIF

Bilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.

Contoh :          {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

Ø  BILANGAN BULAT

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.

Contoh :          {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Ø  BILANGAN PRIMA

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh :          {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

Ø  BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Contoh :          {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

Ø  BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real danbilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real bdisebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Contoh :          {3 + 2i}

Ø  BILANGAN IMAJINER

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :

x2 + 1 = 0

atau secara ekuivalen

x2 = -1

atau juga sering dituliskan sebagai

x = √-1

Ø  BILANGAN REAL

Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

Ø  BILANGAN IRRASIONAL

Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :          π         =          3,141592653358……..

                          √2        =          1,4142135623……..

                          e          =          2,71828281284590…….

Ø  BILANGAN RASIONAL

Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.

Contoh :          {½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional.

Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).

Ø  BILANGAN PECAHAN

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Berikut Contoh Soal Himpunan Dan Diagram Venn

Contoh Soal 1

Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, dipeoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!

Jawab:

Kita gunakan diagram ven untuk menjawab soal tersebut. Jika kita gambarkan dengan diagram ven maka gambarnya seperti gambar berikut ini.

Banyak orang yang ada di dalam kelompok tersebut adalah 60 + 8 + 42 + 35 = 145 orang. Jadi, banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada 145 orang.

Contoh Soal 2

Dari beberapa anak remaja diketahui 25 orang suka minum susu, 20 orang suka minum kopi dan 12 orang suka susu dan kopi. Dari data di atas jawablah pertanyaan di bawah ini.

a. jumlah semua anak remaja

b. jumlah remaja yang suka susu saja

c. jumlah remaja yang suka kopi saja

d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya

Jawab:

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus membuat data tersebut menjadi bentuk diagram ven. Jika digambarkan maka bentuk diagram vennya menjadi seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka.

a. jumlah semua anak remaja = 33 orang

b. jumlah remaja yang suka susu saja = 13  orang

c. jumlah remaja yang suka kopi saja = 8 orang

d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya = 12 orang

Contoh Soal 3

Hasil survey terhadap 35 orang penduduk di suatu desa, diperoleh hasil sebagai berikut: 18 orang menyukai teh, 17 orang menyukai kopi, 14 orang menyukai susu, 8 orang menyukai minum teh dan kopi, 7 orang menyukai teh dan susu, 5 orang menyukai kopi dan susu, 3 orang menyukai ketiga-tiganya. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas dan tentukan banyaknya warga menyukai teh, menyukai susu, menyukai kopi, dan tidak menyukai ketiga-tiganya.

Jawab:

Diagram Venn dari keterangan di atas seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka banyaknya warga yang gemar minum teh saja ada 6 orang, gemar minum susu saja ada 5 orang, gemar minum kopi saja ada 7 orang  dan tidak gemar ketiga-tiganya ada 3 orang.

Berikut Contoh Soal Himpunan Bilangan Cacah

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan p + 5 ≥ 9 jika perubah pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut Anda harus mensubstitusi x dengan sembarang bilangan cacah.

Jika x = 0 maka:

<=> p + 5 ≥ 9

 <=> 0 + 5 ≥ 9

<=> 5 ≥ 9 (pernyataan salah)

Jika x = 1 maka:

 <=> p + 5 ≥ 9

 <=> 1 + 5 ≥ 9

<=> 6 ≥ 9 (pernyataan salah)

Jika x = 2 maka:

 <=> p + 5 ≥ 9

 <=> 2 + 5 ≥ 9

<=> 7 ≥ 9 (pernyataan salah)

Jika x = 3 maka:

<=> p + 5 ≥ 9

 <=> 3 + 5 ≥ 9

<=> 8 ≥ 9 (pernyataan salah)

Jika x = 4 maka:

<=> p + 5 ≥ 9

 <=> 4 + 5 ≥ 9

<=> 9 ≥ 9 (pernyataan benar)

Jika x = 5 maka:

<=> p + 5 ≥ 9

 <=> 5 + 5 ≥ 9

<=> 10 ≥ 9 (pernyataan benar)

Jika x = 6 maka:

<=> p + 5 ≥ 9

 <=> 6 + 5 ≥ 9

<=> 11 ≥ 9 (pernyataan benar)

Ternyata untuk x = 4, 5, 6, . . . pertidaksamaan p + 5 ≥ 9 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari p + 5 ≥ 9 adalah {4, 5, 6,..}.

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3(2t – 1) ≤ 2t + 9 jika

peubah pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:

<=> 3(2t – 1) ≤ 2t + 9

<=> 6t – 3 ≤ 2t + 9

<=> 6t – 3 + 3 ≤ 2t + 9 + 3 (ditambah 3)

<=> 6t ≤ 2t + 12

<=> 6t – 2t ≤ 2t – 2t + 12 (dikurangi 2t)

<=> 4t ≤ 12

<=> (¼)4t ≤ (¼)12 (dikali ¼)

<=> t ≤ 3

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2(x – 30) < 4(x – 2) jika

peubah pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:

<=> 2(x – 30) < 4(x – 2)

<=> 2x – 60 < 4x – 8

<=> 2x – 60 + 60 < 4x – 8 + 60 (ditambah 60)

<=> 2x < 4x + 52

<=> 2x – 4x < 4x – 4x + 52 (dikurangi 4x)

<=> – 2x  ≤ 52

<=> (– ½) . 2x ≥ (– ½) . 52 (dikali – ½ dan tandanya berubah karena dikalikan dengan bilangan negatif dari ≤ menjadi ≥)

<=> x ≥ 26

Sources :

http://mafia.mafiaol.com/2014/01/contoh-soal-dan-pembahasan-diagram-venn.html

http://mafia.mafiaol.com/2014/05/penyelesaian-pertidaksamaan-linear-satu-variabel.html

http://shadowz-space.blogspot.com/2012/03/macam-macam-bilangan-dalam-matematika.html