Kamis, 26 Juni 2014

HIMPUNAN BILANGAN DAN DIAGRAM VENN

MACAM-MACAM HIMPUNAN BILANGAN
Ø  BILANGAN ASLI
Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).
Contoh :          {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Ø  BILANGAN CACAH
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.
Contoh :          {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Ø  BILANGAN NEGATIF
Bilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.
Contoh :          {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}
Ø  BILANGAN BULAT
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.
Contoh :          {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Ø  BILANGAN PRIMA
Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh :          {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}
Ø  BILANGAN KOMPOSIT
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Contoh :          {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}
Ø  BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real danbilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real bdisebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Contoh :          {3 + 2i}
Ø  BILANGAN IMAJINER
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :
x2 + 1 = 0
atau secara ekuivalen
x2 = -1
atau juga sering dituliskan sebagai
x = √-1
Ø  BILANGAN REAL
Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).
Ø  BILANGAN IRRASIONAL
Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.
Contoh :          π         =          3,141592653358……..
                          √2        =          1,4142135623……..
                          e          =          2,71828281284590…….
Ø  BILANGAN RASIONAL
Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.
Contoh :          {½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}
Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional.
Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.
Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.
Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).
Ø  BILANGAN PECAHAN
Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
a disebut pembilang dan b disebut penyebut.



Berikut Contoh Soal Himpunan Dan Diagram Venn
Contoh Soal 1
Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, dipeoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!
Jawab:
Kita gunakan diagram ven untuk menjawab soal tersebut. Jika kita gambarkan dengan diagram ven maka gambarnya seperti gambar berikut ini.

Banyak orang yang ada di dalam kelompok tersebut adalah 60 + 8 + 42 + 35 = 145 orang. Jadi, banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada 145 orang.
Contoh Soal 2
Dari beberapa anak remaja diketahui 25 orang suka minum susu, 20 orang suka minum kopi dan 12 orang suka susu dan kopi. Dari data di atas jawablah pertanyaan di bawah ini.
a. jumlah semua anak remaja
b. jumlah remaja yang suka susu saja
c. jumlah remaja yang suka kopi saja
d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya
Jawab:
Untuk menjawab soal tersebut Anda harus membuat data tersebut menjadi bentuk diagram ven. Jika digambarkan maka bentuk diagram vennya menjadi seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka.
a. jumlah semua anak remaja = 33 orang
b. jumlah remaja yang suka susu saja = 13  orang
c. jumlah remaja yang suka kopi saja = 8 orang
d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya = 12 orang

Contoh Soal 3
Hasil survey terhadap 35 orang penduduk di suatu desa, diperoleh hasil sebagai berikut: 18 orang menyukai teh, 17 orang menyukai kopi, 14 orang menyukai susu, 8 orang menyukai minum teh dan kopi, 7 orang menyukai teh dan susu, 5 orang menyukai kopi dan susu, 3 orang menyukai ketiga-tiganya. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas dan tentukan banyaknya warga menyukai teh, menyukai susu, menyukai kopi, dan tidak menyukai ketiga-tiganya.
Jawab:
Diagram Venn dari keterangan di atas seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka banyaknya warga yang gemar minum teh saja ada 6 orang, gemar minum susu saja ada 5 orang, gemar minum kopi saja ada 7 orang  dan tidak gemar ketiga-tiganya ada 3 orang.
Berikut Contoh Soal Himpunan Bilangan Cacah
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan p + 5 ≥ 9 jika perubah pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut Anda harus mensubstitusi x dengan sembarang bilangan cacah.
Jika x = 0 maka:
<=> p + 5 ≥ 9
 <=> 0 + 5 ≥ 9
<=> 5 ≥ 9 (pernyataan salah)
Jika x = 1 maka:
 <=> p + 5 ≥ 9
 <=> 1 + 5 ≥ 9
<=> 6 ≥ 9 (pernyataan salah)
Jika x = 2 maka:
 <=> p + 5 ≥ 9
 <=> 2 + 5 ≥ 9
<=> 7 ≥ 9 (pernyataan salah)
Jika x = 3 maka:
<=> p + 5 ≥ 9
 <=> 3 + 5 ≥ 9
<=> 8 ≥ 9 (pernyataan salah)
Jika x = 4 maka:
<=> p + 5 ≥ 9
 <=> 4 + 5 ≥ 9
<=> 9 ≥ 9 (pernyataan benar)
Jika x = 5 maka:
<=> p + 5 ≥ 9
 <=> 5 + 5 ≥ 9
<=> 10 ≥ 9 (pernyataan benar)
Jika x = 6 maka:
<=> p + 5 ≥ 9
 <=> 6 + 5 ≥ 9
<=> 11 ≥ 9 (pernyataan benar)
Ternyata untuk x = 4, 5, 6, . . . pertidaksamaan p + 5 ≥ 9 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari p + 5 ≥ 9 adalah {4, 5, 6,..}.
Contoh Soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3(2t – 1) ≤ 2t + 9 jika
peubah pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian:
<=> 3(2t – 1) ≤ 2t + 9
<=> 6t – 3 ≤ 2t + 9
<=> 6t – 3 + 3 ≤ 2t + 9 + 3 (ditambah 3)
<=> 6t ≤ 2t + 12
<=> 6t – 2t ≤ 2t – 2t + 12 (dikurangi 2t)
<=> 4t ≤ 12
<=> (¼)4t ≤ (¼)12 (dikali ¼)
<=> t ≤ 3
Contoh Soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2(x – 30) < 4(x – 2) jika
peubah pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:
<=> 2(x – 30) < 4(x – 2)
<=> 2x – 60 < 4x – 8
<=> 2x – 60 + 60 < 4x – 8 + 60 (ditambah 60)
<=> 2x < 4x + 52
<=> 2x – 4x < 4x – 4x + 52 (dikurangi 4x)
<=> – 2x  ≤ 52
<=> (– ½) . 2x ≥ (– ½) . 52 (dikali – ½ dan tandanya berubah karena dikalikan dengan bilangan negatif dari ≤ menjadi ≥)
<=> x ≥ 26
Sources :


Tidak ada komentar:

Posting Komentar